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梯度折射率光纖光學系統之自聚焦透鏡的特性、自聚焦透鏡成像

2011-01-27

                                      梯度折射率光纖光學系統之自聚焦透鏡的特性、自聚焦透鏡成像

     當自聚焦光纖用作成像時，稱其為自聚焦透鏡。自聚焦透鏡與普通透鏡一樣，既可單獨用來成像，又可與普通透鏡共同組成成像系統。下面來分析自聚焦透鏡的特性和成像關系。

     長度為l的自聚焦透鏡位于空氣中，一條平行光以高度為h入射在透鏡輸入端面，該光線通過透鏡的出射光線為BF'，B是光線的出射點，F'是光線與透鏡光軸的 交點。根據幾何光學理論，F'為自聚透鏡的像方焦點，反向延長BF'與平行光的延長線相交于Q點，過Q'點作光軸的垂線交光軸于H'點，H'點即為自聚焦 透鏡的像方主點，H'到F'的距離即為自聚焦透鏡的焦距f'，H'到輸出端面的距離為lH'。過B點作曲線的切線交平行光的延長線于C點，則CB方向即為 光線在輸出端面B點的入射方向。再過B點作光軸的平行線BD。

      n(r)為B點的透鏡折射率。因為平行光入射在自聚焦透鏡的輸入端面，不管其入射高度為多大，光線在透鏡內的傳播軌跡為余弦函數形式，即有當求出曲線上B點的斜率后，即可求得，即

     當l有一定長度，即B點離光軸不太遠時，可近似地用n(0)來代替n(r)，在近軸區域內用其角度值來代替正切值和正弦值，可得

由此可見, 長度為l的自聚焦透鏡的焦距f'為

又因為B點的半徑rB可求得

所以自聚焦透鏡的主面位置lH'為

自聚焦透鏡的焦點位置lF'為

對自聚焦透鏡的物方焦距等參數也可用同樣的方法求得。

由自聚焦透鏡的焦距表達式可看出，當參數確定后，透鏡的焦距f'取決于透鏡的長度l，且透鏡的焦距呈周期性變化。

f'為極小值，且k為偶數時，f'為正值，k為奇數時，f'為負值。

雖然我們已求出了自聚焦透鏡的各種參數，但以這些參數來求自聚焦透鏡的物像關系，尤其是通過圖解法來求其物像關系，往往是很繁雜的。若以幾何光學的等效光組來代替上述自聚焦透鏡，則可使問題變得簡單。下面以的自聚焦透鏡為例（等效光組的情況很復雜，參見“實用光學設計方法和現代光學系統”一書，機械工業出版社1995），來說明其成像關系。

三、自聚焦透鏡成像

對的自聚焦透鏡，求得，且透鏡的物方焦點和像方 焦點分別位于透鏡的輸入和輸出端面。在近軸成像情況下，,物方焦面和像方主面重合，此面也是透鏡的輸入端面；像方焦面和物方主面重合，此面也是透鏡的輸出端面。因此的自聚焦透鏡完全可以看成是一個單光組成像系統。若用薄透鏡來表示，則上述自聚焦透鏡可用二個單薄透鏡來等效，二個薄透鏡的焦距fL'分別等于的自聚焦透鏡的焦距，即

二個薄透鏡的間隔d=fL'，且自聚焦透鏡的輸入和輸出端面分別和前后薄透鏡重合。